Question

已知函數y=3sin2x+2

3

sinxcosx-3cos2x，（x∈R），
（1）寫出這個函數的振幅，初相和最小正周期；
（2）求y的最大值及此時x的值；
（3）寫出這個函數的單調增區間；
（4）畫出這個函數的圖象，并說出它是怎樣由y=sinx的圖象變換而得到的？

Answer 1

分析：利用二倍角及輔助角公式化簡y=3sin2x+2

3

sinxcosx-3cos2x可得，y=2

3

sin(2x-

π

3

)，根據三角函數的性質可分別求解

解答：解：函數y=3sin2x+2

3

sinxcosx-3cos2x
=3(sin2x-cos2x)+ 

3

sin2x
=

3

sin2x-3cos2x
∴y=2

3

sin(2x-

π

3

)
（1）振幅A=2

3

3’初相為-

π

3

4’最小正周期為π5’
（2）當x=kπ+

5π

12

(k∈z)時，ymax=2

3

7’
（3）單調增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]8’
（4）右移

π

3

個單位，橫坐標變為原來的

1

2

倍，縱坐標變為原來的2

3

倍

點評：本題主要考查看三角函數的性質的求解，解題的關鍵是利用二倍角及輔助角公式對函數化簡為y=Asin（wx+∅）的形式，熟練掌握正弦函數的性質是解決本題的令一個關鍵．