Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；
②關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則實數a=-1；
③若函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4或a≥0；
④若函數y=f（x-1）是偶函數，則函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱．
其中所有正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①中|x|恒為非負數，只要去掉常數項即可；
②分a=0與a≠0討論解決；
③令g（x）=x²+ax-a，依題意，x²+ax-a=0有實數根，△≥0，從而可求得a的范圍；
④函數y=f（x-1）是偶函數⇒y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，從而可判斷④的正誤；

解答：解：∵①中|x|恒為非負數，故只要去掉常數項即可，
∴當c=0時，f（x）=x|x|+bx，
∴f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-（x|x|+bx）=-f（x），
∴f（x）=x|x|+bx為奇函數；
反之，若f（x）=x|x|+bx+c為奇函數，則f（0）=c=0，
∴c=0，
∴函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0，正確；
對于②，∵關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，
∴當a=0時，有-1=0，不符合題意，故舍去；
當a≠0時，ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則△=4a²+4a=0，
解得a=-1，a=0（舍去），
∴a=-1，故②正確；
③令g（x）=x²+ax-a，依題意，x²+ax-a=0有實數根，
∴△=a²+4a≥0，
解得：a≥0或a≤-4，故③正確；
對于④，∵函數y=f（x-1）是偶函數，
∴f（-x-1）=f（x-1），
∴y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，而不是關于直線x=0對稱，故④錯誤；
綜上所述，正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數的奇偶性、對稱性與最值，屬于中檔題．