Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x≥1}\\{1-\frac{x}{2}，x＜1}\end{array}\right.$，若F（x）=f[f（x）+1]+m有兩個零點x₁，x₂，則x₁+x₂的取值范圍是（　　）

• A． [4-2ln2，+∞）
• B． [1+$\sqrt{e}$，+∞）
• C． [4-2ln2，1+$\sqrt{e}$）
• D． （-∞，1+$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由題意可知：當x≥1時，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），當x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，則x₁+x₂=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，設g（t）=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，求導，利用導數求得函數的單調性區間，即可求得x₁+x₂的取值范圍．

解答 解：當x≥1時，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
當x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
f（x）+1＞$\frac{3}{2}$，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
綜上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
則f（x）+1=e^-m，f（x）=e^-m-1，有兩個根x₁，x₂，（不妨設x₁＜x₂），
當x≥1是，lnx₂=e^-m-1，當x＜1時，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=e^-m-1，
令t=e^-m-1＞$\frac{1}{2}$，則lnx₂=t，x₂=e^t，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=t，x₁=2-2t，
∴x₁+x₂=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，
設g（t）=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，
求導g′（t）=e^t-2，令g′（t）=0，解得：t=ln2，
t∈（$\frac{1}{2}$，ln2），g′（t）＜0，函數g（t）單調遞減，
t∈（ln2，+∞），g′（t）＞0，函數g（t）單調遞增，
∴當t=ln2時，g（t）取最小值，最小值為：g（t）_min=g（ln2）=2+2-2ln2=4-2ln2，
∴g（x）的值域為[4-2ln2，+∞），
∴x₁+x₂取值范圍[4-2ln2，+∞），
故選：A．

點評 本題考查函數零點的判定，利用導數求函數的單調性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．