Question

設x、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則log

3

(

1

a

+

2

b

)的最小值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．3
• C．2
• D．4

Answer 1

分析：作出x、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

圖象，由圖象判斷出最優解，令目標函數值為6，解出關于a，b的方程，再由基本不等式求出

1

a

+

2

b

的最小值，代入求解即可

解答：解：由題意、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的圖象如圖
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6
從圖象上知，最優解是（2，4）
故有2a+4b=6
∴

1

a

+

2

b

=

1

6

（2a+4b） （

1

a

+

2

b

）=

1

6

（10+

4a

b

+

4b

a

）≥

1

6

×（10+2

4b a • 4a b

）=3，
等號當且僅當

4b

a

=

4a

b

時成立
故 log

3

 (

1

a

+

2

b

)的最小值為log

3

³=2．
故選：C．

點評：本題考查簡單線性規劃的應用及不等式的應用，解決本題，關鍵是根據線性規劃的知識判斷出取最值時的位置，即最優解，由此得到參數的方程，再構造出積為定值的形式求出真數的最小值．