Question

已知圓：，點，，點在圓上運動，的垂直平分線交于點．

　　　 （Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

　　　 （Ⅱ）設分別是曲線上的兩個不同點，且點在第一象限，點在第三象限，若，為坐標原點，求直線的斜率；

　　　 （Ⅲ）過點，且斜率為的動直線交曲線于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解: （Ⅰ） 因為的垂直平分線交 于點．所以

所以動點的軌跡是以點為焦點的橢圓……………2分

設橢圓的標準方程為

則，，則橢圓的標準方程為……4分

（Ⅱ） 設，則     ①

因為

則     ②

由①②解得……………7分

所以直線的斜率……………8分

（Ⅲ）直線方程為，聯立直線和橢圓的方程得:

   得…………9分

由題意知：點在橢圓內部，所以直線與橢圓必交與兩點，

設則

假設在軸上存在定點，滿足題設，則

因為以為直徑的圓恒過點,

則，即:  （*）

因為

則（*）變為…………11分

由假設得對于任意的,恒成立，

即解得……13分

因此，在軸上存在滿足條件的定點，點的坐標為．………………14分