Question

定義向量運算“×”：

a

×

b

的結果為一個向量，其模為|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，且

a

×

b

與向量

a

，

b

均垂直．則右圖平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積用

AB

，

AD

，

AA1

表示為

 

．（用運算符號“×”及數量積“•”表示）

Answer 1

分析：由平行六面體的體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為底面上的高，使用向量法時，若以平面AC為底面，不難得到V=|

AB

|•|

AD

|•|

AA1

|•cosα•sinβ（其中α為

AA1

與底面法向量的夾角，β為

AB

與

AD

的夾角．由向量的“×”運算的定義及向量數量積運算的定義，不難得到：V=|

AA1

•（

AB

×

AD

）|考慮到平面AD₁、平面AB₁也可以看成底面故由此可類比推理得到三個類似的公式．

解答：解：若以平面AC為底面，不難得到：
V=|

AB

|•|

AD

|•|

AA1

|•cosα•sinβ（其中α為

AA1

與底面法向量的夾角，β為

AB

與

AD

的夾角）
由向量的“×”運算的定義及向量數量積運算的定義，不難得到：
V=|

AA1

•（

AB

×

AD

）|
考慮到平面AD₁、平面AB₁也可以看成底面故由此可類比推理得：
V=|

AA1

•（

AB

×

AD

）|=|

AB

•(

AD

×

AA1

)|=|

AD

•(

AB

×

AA1

)|
故答案為：|

AA1

•(

AB

×

AD

)|或|

AB

•(

AD

×

AA1

)|，或|

AD

•(

AB

×

AA1

)|

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．另外，在本題的解答過程中，V=|

AB

|•|

AD

|•|

AA1

|•cosα•sinβ（其中α為

AA1

與底面法向量的夾角，β為

AB

與

AD

的夾角）也是很關鍵的，可能文科學生沒有空間向量的概念，故建議文科學生可以簡單了解一個關于空間向量運算的知識．