Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當二面角D-EF-C的大小為

π

3

時，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）過點E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，根據已知中矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．可得AE∥DG，結合線面平行的判定定理，即可得到AE∥平面DCF；
（2）連接DE，由已知中DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，可得DC⊥平面BCFE，故∠DEC為二面角D-EF-C的一個平面角，即∠DEC=

π

3

，解三角形EFG及三角形DCE，即可得到AB的長．

解答：（1）證明：過點E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，
可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形
所以AD∥EG且AD=EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形
故AE∥DG
因為AE?平面DCF，DG?平面DCF
所以AE∥平面DCF
（2）解：連接DE，∵DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，∴DC⊥平面BCFE
∵∠CEF=

π

2

∴DE⊥EF，故∠DEC為二面角D-EF-C的一個平面角
在Rt△EFG中，因為EG=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°．
又因為CE⊥EF，所以CE=2

3

，在Rt△DCE中，DC=CE•tan∠DEC=2

3

×

3

=6，即AB=6

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題，本題的綜合的知識點較多大，難度中等偏上，特別是與二面角相關的知識點考查，難度較大．