Question

已知函數f(x)=2asin²x+2sinxcosx-a(a為常數)的圖象過點(0,-).

(1)求函數f(x)的值域;

(2)若函數y=f(x)的圖象按向量u=(m,0)作長度最短的平移后,其圖象關于y軸對稱,求向量u的坐標.

Answer 1

解:(1)∵函數f(x)的圖象過點(0,- ),

    ∴-=2asin²0+2sin0cos0-a.

    ∴a=.

    ∴f(x)=2sin²x+2sinxcosx-

    =2×+sin2x-

    =sin2x-cos2x=2sin(2x-).

    ∵-1≤sin(2x-)≤1,

    ∴函數f(x)的值域為［-2,2］.

    (2)設函數f(x)的圖象上任一點(x,y)按向量u=(m,0)平移后的坐標為(x′,y′),

    則∴

    代入y=2sin(2x-)得

    y′=2sin［2(x′-m)-］,

    即y′=2sin(2x′-2m-).

    又∵y′=2sin(2x′-2m-)的圖象關于y軸對稱,∴-2m-=.∴m=--(k∈Z且|k|為奇數).

    ∴要使|m|最小,則當k=-1時,m=,此時u的坐標為(,0).