Question

如圖所示的四棱錐，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為坐標原點建立直角坐標系，用坐標分別表示，從而可得其數量積為0，故得證；
（2）用坐標表示，進而可求夾角，由此可求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）用坐標表示=（ ，0，），，進而可求異面直線DM與SC所成角
解答：解：如圖所示，以D為坐標原點建立直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（ ，0，），S（0，0，1）
（1）∵
∴
∴BC⊥SC；
（2）∵
∴
∴SB與底面ABCD所成角的正切值為；
（3）=（ ，0，），
∴
∴異面直線DM與SC所成角為30°
點評：本題以四棱錐為載體，考查空間向量，考查線線垂直，考查線面角，考查線線垂直，關鍵是構建空間直角坐標系．