Question

已知數列{x_n}滿足x₁=x₂=1并且

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，(λ為非零參數，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁、x₃、x₅成等比數列，求參數λ的值；
（2）設0＜λ＜1，常數k∈N^*且k≥3，證明

x1+k

x1

+

x2+k

x2

+…+

xn+k

xn

＜

λk

1-λk

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）令n=2，3，4代入到

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，(λ為非零參數，n=2，3，4，…）中得到x₁、x₃、x₅若它們成等比數列則根據x₃²=x₁x₅，即求出λ即可；
（2）設an=

xn+1

xn

，由已知，數列{a_n}是以

x2

x1

=1為首項、λ為公比的等比數列，化簡不等式左邊由0＜λ＜1，常數k∈N^*且k≥3得證．

解答：解：（1）解：由已知x₁=x₂=1，且

x3

x2

=λ

x2

x1

?x3=λ，

x4

x3

=λ

x3

x2

?x4=λ3，

x5

x4

=λ

x4

x3

?x5=λ6．
若x₁、x₃、x₅成等比數列，
則x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）證明：設an=

xn+1

xn

，由已知，數列{a_n}是以

x2

x1

=1為首項、λ為公比的等比數列，
故

xn+1

xn

=λn-1，
則

xn+k

xn

=

xn+k

xn+k-1

.

xn+k-1

xn+k-2

xn+1

xn

=λ^n+k-2．λ^n+k-3λ^n-1
λkn+

k(k-3)

2

．
因此，對任意n∈N^*，

x1+k

x1

+

x2+k

x2

+…+

xn+k

xn

=λk+

k(k-3)

2

+λ2k+

k(k-3)

2

+…+λkn+

k(k-3)

2

=λ

k(k-3)

2

(λk+λ2k+…+λnk)
=λ

k(k-3)

2

λk(1-λnk)

1-λk

．
當k≥3且0＜λ＜1時，0＜λ

k(k-3)

2

≤1，0＜1-λnk＜1，
所以

x1+k

x1

+

x2+k

x2

+…+

xn+k

xn

＜

λk

1-λk

(n∈N*)．

點評：本小題以數列的遞推關系為載體，主要考查等比數列的等比中項及前n項和公式、等差數列前n項和公式、不等式的性質及證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．