拋物線
，直線
過拋物線
的焦點
，交
軸于點
.
（1）求證：
；
（2）過作拋物線的切線，切點為
（異于原點），
（i）
是否恒成等差數列，請說明理由；
（ii）
重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.
（1）即證
（2）能拋物線
解析試題分析：（1）由于點F的坐標已知，所以可假設直線AB的方程（依題意可得直線AB的斜率存在）.寫出點P的坐標，聯立直線方程與拋物線方程消去y，即可得到一個關于x的一元二次方程，寫出韋達定理，再根據欲證轉化為點的坐標關系.
（2）（i）根據提議分別寫出，結合韋達定理驗證
是否成立.
（ii）由三角形重心的坐標公式，結合韋達定理，消去參數k即可得到重心的軌跡.
試題解析：（1）因為
，所以假設直線AB為
，
，所以點
.聯立
可得，
，所以
.因為
，
.所以.
（2）（i）設
，
的導數為
.所以可得
，即可得
.即得
.
.
.所以可得即是否恒成等差數列.
（ii）因為重心的坐標為
由題意可得
.即
，
消去k可得.
考點：1.拋物線的性質.2.解方程的思想.3.等差數列的證明.4.三角形的重心的公式.5.運算能力.6.分析問題和解決問題的能力、以及等價轉化的數學思想.
開心練習課課練與單元檢測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在
軸上，有一個頂點為
，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作直線
與橢圓交于
兩點，線段
的中點為
,求直線
的斜率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點
，長軸的左、右端點分別為
,且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過焦點斜率為
（
）的直線
交橢圓于
兩點，弦
的垂直平分線與
軸相交于
點. 試問橢圓上是否存在點
使得四邊形
為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C：
，點A、B在拋物線C上.
（1）若直線AB過點M（2p，0），且
=4p，求過A，B，O（O為坐標原點）三點的圓的方程；
（2）設直線OA、OB的傾斜角分別為
，且
，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知定點
與分別在
軸、
軸上的動點
滿足：
,動點
滿足
．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于
兩點，直線
與直線
分別交于點
（
為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以
為直徑的圓的位置關系；
（ii）探究
是否為定值？并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
巳知橢圓
的離心率是
.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線
，使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦距為
，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為
，
為坐標原點.
（1）求橢圓
的方程.
（2）設斜率為
的直線
與相交于
、
兩點，記
面積的最大值為
，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：
，C2：
. 設點P的軌跡為
．
（1）求C的方程；
（2）設直線
與C交于A，B兩點．問k為何值時
？此時
的值是多少？
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