Question

某公司決定采用增加廣告投入和技術改造投入兩項措施來獲得更大的收益．通過對市場的預測，當對兩項投入都不大于3（百萬元）時，每投入x（百萬元）廣告費，增加的銷售額可近似的用函數y₁=-2x²+14x（百萬元）來計算；每投入x（百萬元）技術改造費用，增加的銷售額可近似的用函數y₂=-

1

3

x³+2x²+5x（百萬元）來計算．現該公司準備共投入3（百萬元），分別用于廣告投入和技術改造投入，請設計一種資金分配方案，使得該公司的銷售額最大． （參考數據：

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：先計算投入帶來的銷售額增加值，再利用導數法，即可確定函數的最值．

解答：解：設3百萬元中技術改造投入為x（百萬元），廣告費投入為3-x（百萬元），則廣告收入帶來的銷售額增加值為-2（3-x）²+14（3-x）（百萬元），技術改造投入帶來的銷售額增加值為-

1

3

x³+2x²+5x（百萬元），
所以，投入帶來的銷售額增加值F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-

1

3

x³+2x²+5x．
整理上式得F（x）=-

1

3

x³+3x+24，
因為F′（x）=-x²+3，令F′（x）=0，解得x=

3

或x=-

3

（舍去），
當x∈[0，

3

），F′（x）＞0，當x∈（

3

，3]時，F′（x）＜0，
所以，x=

3

≈1.73時，F（x）取得最大值．
所以，當該公司用于廣告投入1.27（百萬元），用于技術改造投入1.73（百萬元）時，公司將有最大的銷售額．

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查學生的計算能力，正確確定函數解析式是關鍵．