Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+

3

cos2x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若存在x0∈[0，

7π

12

]，使不等式f（x₀）＜a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式的前兩項(xiàng)提取2，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出第一問(wèn)化簡(jiǎn)后函數(shù)中角度的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時(shí)正弦函數(shù)的最小值，得到函數(shù)f（x）的最小值，并求出此時(shí)x的值，可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+

3

cos2x-1=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）-1
=2sin(2x+

π

3

)-1，（4分）
∵ω=2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；（6分）
（Ⅱ）f（x）=2sin(2x+

π

3

)-1，
當(dāng)x∈[0，

7π

12

]時(shí)，2x+

π

3

∈[

π

3

，

9π

6

]，（8分）
當(dāng)2x+

π

3

=

9π

6

，即x=

7π

12

時(shí)，f（x）取最小值-3，（10分）
則使題設(shè)成立的充要條件是f(

7π

12

)＜a，
此時(shí)a的取值范圍是（-3，+∞）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角函數(shù)的最值，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．