Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f′（x）．
（Ⅰ）當時，若不等式對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，將不等式對任意x∈R恒成立，轉化為使x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式，即可確定b的取值范圍；
（Ⅱ）（i）利用函數f（x）為奇函數，可得b=0，利用在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，即可確定函數的解析式；
（ii）求導函數，確定函數的單調區間，進而分類討論：當時，即使；當時，即使或；當時，即使或；當時，即使或；當時，即使或；當時，即使或，由此可知實數t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當時，
若使不等式對任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0對任意x∈R恒成立，
即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范圍為：（0，1）
（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b
又在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，∴2a+3b=2
又函數f（x）為奇函數，∴b=0，∴a=1，
∴f（x）=x³-x
（ii）求導函數可得f′（x）=3x²-1
令f′（x）＞0，可得或x＞，令f′（x）＜0，可得
∴函數的單調增區間為（-∞，-），（，+∞），減區間為．
當時，若使關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使，∴
當時，若使關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使或，此時無解
當時，若使關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使或，∴
當時，若使關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使或，∴
當時，若使關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使或，此時無解
當時，若使關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使或，∴
綜上，可知實數t的取值范圍為：
點評：本題主要考查利用導數法研究函數的單調性，研究恒成立問題，考查分類討論的數學思想，綜合性強，難度大．