Question

已知橢圓過點(diǎn)，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線與軸正半軸、軸分別交于點(diǎn)，與橢圓分別交于點(diǎn)，各點(diǎn)均不重合，且滿足，． 當(dāng)時，試證明直線過定點(diǎn)．過定點(diǎn)（1，0）

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）結(jié)合向量關(guān)系式，以及韋達(dá)定理，來分析直線的方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo)。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為                        1分

由題意知，且又

所以橢圓方程為.　　　　　　　　                           4分

（Ⅱ）由題意設(shè)的方程為       5分

由知6分

同理由知

∵，∴　　　（1）　　　         7分

聯(lián)立得，                          8分

只需　　  （2）

且有　　　　 （3）　　　　                 9分

把（3）代入（1）得且滿足（2），              10分

依題意，，故

從而的方程為，即直線過定點(diǎn)（1，0）                              12分

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，代數(shù)法來設(shè)而不求的解題思想是解析幾何的本質(zhì)，屬于中檔題。