Question

如圖，底面為直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考察線面垂直和二面角的求法，可以用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法，突出考察空間想象能力和計算能力，（Ⅰ）由平面，得到，要證明平面，只需證明，在中，,在中，，所以,又,,所以，可證平面；（Ⅱ）用向量法求解，先求出面和面的法向量，再利用夾角公式求夾角.
試題解析：（Ⅰ）方法一：如圖，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，               2分
．，，
又， 面．                       6分
方法二：由平面，∴，在中，,在中，，所以,又,,所以，又∵,面
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則                                         8分

解得．
令，則     10分

二面角的余弦值為．      12分