Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段AD₁上的點，且滿足．
（Ⅰ）當λ=1時，求證：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）試證無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面ABC₁D₁⊥平面PDB，根據面面垂直的判定定理可知在平面PDB內一直線與平面ABC₁D₁垂直，根據面面垂直的性質定理可知DP⊥平面ABC₁D₁；
（II）根據AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點，得到三角形PBC₁的面積為定值，再根據CD∥平面ABC₁D₁，得到點D到平面PBC₁的距離為定值，從而得到三棱錐D-BPC₁的體積為定值，在利用體積公式求出三棱錐D-PBC₁的體積即可．
解答：證明：（Ⅰ）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1時，P為AD₁的中點，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，
∴DP⊥平面ABC₁D₁，
又DP?平面PDB，∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB．

（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點，
∴三角形PBC₁的面積為定值，
即，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴點D到平面PBC₁的距離為定值，即，
∴三棱錐D-BPC₁的體積為定值，
即．
也即無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值．
點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及棱錐的體積等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．