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3.已知a>0,函數f(x)=$\frac{1}{3}{a^2}{x^3}-a{x^2}+\frac{2}{3}$,g(x)=-ax+1,x∈R,若在區間$(0,\frac{1}{2}]$上至少存在一個實數x0,使f(x0)>g(x0)成立,則a的取值范圍是(-3+$\sqrt{17}$,+∞).

分析 設F(x)=f(x)-g(x),求出導函數,由x的范圍得到導函數值大雨0,即F(x)為增函數,根據閉區間x的范圍,求出F(x)的最大值,根據最大值大于0列出關于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍.

解答 解:設F(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{3}$a2x3-ax2+ax-$\frac{1}{3}$,(x∈(0,$\frac{1}{2}$]),
對F(x)求導,得F′(x)=a2x2-2ax+a=a2x2+a(1-2x)>0,(a>0),
∴F(x)在(0,$\frac{1}{2}$]上為增函數,則F(x)max=F($\frac{1}{2}$).
依題意,只需F(x)max>0,即$\frac{1}{3}$a2×$\frac{1}{8}$-a×$\frac{1}{4}$+a×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$>0,
∴a2+6a-8>0,解得a>-3+$\sqrt{17}$或a<-3-$\sqrt{17}$(舍去).
于是,所求實數a的取值范圍是(-3+$\sqrt{17}$,+∞).
故答案為:(-3+$\sqrt{17}$,+∞).

點評 本題主要考查函數單調性的應用,根據條件構造函數,求函數的導數,利用函數的單調性和導數之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵.

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