Question

（08年長沙一中一模文）如圖，平面，，為中點，

       。

       （1）求證：平面；

       （2）求異面直線與所成角的余弦值；

       （3）求點到平面的距離。

 

 

Answer 1

解析： 解法一：（1）因為平面ABC，平面，所以（2分）

       中，，且為中點，所以。

       又，所以平面（4分）

       （2）如圖，

取中點E，連結、，則，

       所以（或其補角）為異面直線與所成的角。（5分）

       因為，所以；

       又平面，平面，所以，

       因為，所以平面，

       因為平面，所以（6分）

       在中，因為，所以，

       在中，因為，

       所以。

       在中，因為。所以。

       即異面直線與所成的角的余弦值為。（8分）

       （3）如圖，過作交于，

       因為平面，平面，所以。

       因為，

       所以平面（10分）

       在中，。

       所以點到平面的距離是。

解法二：如圖，以C為原點，分別以直線、、為、、軸建立空間直角坐標系。（1分）

 

       則

       所以中點

       （1）因為（2分）

       所以

      

       所以，又，

       所以平面。（4分）

       （2）（6分）

       所以

       即異面直線與所成的角的余弦值為（8分）

       （3）設平面的法向量，因為

       則由， 得

       取，得是平面的一個法向量（10分）

       又，

       所以點到平面的距離（12分）

解法三：（1）、（2）同解法一。

       （3）設點C到平面PAD的距離為，

       由（1）平面，

       因為，由三垂線定理，可得，

       又，

       所以，

       。（10分）

       由，得

       即，

       解得

       所以點C到平面的距離是      （12分）