Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數f（x）滿足：f（x+2）=-f（x），且在[-2，0]上是增函數，下面是關于f（x）的判斷：
（1）f（x）是周期函數；         
（2）f（x）在[0，2]上是增函數；
（3）f（x）在[2，4]上是減函數； 
（4）f（x）的圖象關于直線x=2對稱．
則正確的命題序號是

（1），（4）

．

Answer 1

分析：利用偶函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），式子中的x都被x+2代替可得（1）正確；
根據f（x）在[-2，0]上是增函數，偶函數在對稱區間上單調性相反，利用條件可知（2）（3）不正確；
利用f（-x+2）=-f（-x）=f（x+2），可得f（x）的圖象關于直線x=2對稱，即（4）正確．

解答：解：∵定義在（-∞，+∞）上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），
∴式子中的x都被x+2代替可得：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），利用函數周期的定義可知：該函數有周期T=4，即（1）正確；
∵f（x）在[-2，0]上是增函數，偶函數在對稱區間上單調性相反，∴f（x）在[0，2]上是減函數；在[2，4]上是增函數，∴（2）（3）不正確；
∵f（-x+2）=-f（-x）=f（x+2），∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，即（4）正確．
故答案為：（1）（4）

點評：本題考查函數的周期的定義，偶函數在對稱區間上單調性相反這一結論，考查學生分析解決問題的能力．