Question

如圖，過(guò)拋物線x²=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，證明：；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
代入拋物線方程得， ①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，
則x₁、x₂是方程①的兩根，所以，
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為λ，
得，即，
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，-m），
從而，
，


，
所以；
（Ⅱ）由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4），
由得，
所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為，
設(shè)圓C的方程是，
則，
解之得，
所以圓C的方程是，即。