Question

求函數y=

2sinx(1-sinx)

3-cos2x+4sinx

，x∈（0，

π

2

）的值域．

Answer 1

分析：將原函數中不同名的三角函數都化成單角的正弦函數，再換元將其轉化為熟悉的一元二次函數求解．

解答：解：y=

2sinx(1-sinx)

3-(1-2sin2x)+4sinx

=

-sin2x+sinx

sin2x+2sinx+1

．
設t=sinx，則由x∈（0，

π

2

）?t∈（0，1）．
對于y=

-t2+t

t2+2t+1

=

-(t+1)2+3(t+1)-2

(t+1)2

=-1+

3

t+1

-

2

(t+1)2

，
令

1

t+1

=m，m∈（

1

2

，1），
則y=-2m²+3m-1=-2（m-

3

4

）²+

1

8

．
當m=

3

4

∈（

1

2

，1）時，y_max=

1

8

，
當m=

1

2

或m=1時，y=0．
∴0＜y≤

1

8

，即函數的值域為y∈（0，

1

8

]．

點評：本題的解法較多，此種解法主要體現了換元轉化的思想，在換元時要注意變量的范圍．