Question

如圖，已知，且，，（G為動點）．
（1）建立適當的平面直角坐標系，寫出點P的軌跡方程；
（2）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A，B，且線段AB的中垂線與EF（或EF的延長線）相交于一點C，求證：；
（3）若且點P的軌跡上存在點Q使得，求點P的軌跡的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，利用向量的數量積可得==2a，從而可得點P的軌跡是以E、F為焦點，長軸長為2a的橢圓，即可求軌跡方程；
（2）設出C的坐標，確定橫坐標的范圍，即可證得結論；
（3）設OQ所在直線為所在直線，與橢圓方程聯立，利用，即可求點P的軌跡的離心率e的取值范圍．
解答：（1）解：如圖，以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．（1分）
由題設2=，•=0，
∴=，而==2a，
∴點P的軌跡是以E、F為焦點，長軸長為2a的橢圓，
故點P的軌跡方程是：．（4分）
（2）證明：如圖，設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），C （x，0），
∴x₁≠x₂，且=，即（x₁-x）²+=（x₂-x）²+．①
又A、B在軌跡上，∴，
即=，（6分）
代入①整理得：2（x₂-x₁）•x=（），（8分）
∵x₁≠x₂，∴x=．（8分）
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，∴-2a≤x₁+x₂≤2a．
∵x₁≠x₂，∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴，即．（9分）
（3）解：由，即點M為橢圓的右頂點，由知直線OQ斜率必存在，
設OQ所在直線為所在直線為y=kx，
由，解得（其中b²=a²-c²）     （11分）
∴
由得
化簡得a=（1+k²）•，（12分）
∴a²k²+b²=b²（1+k²）²
∴a²=2b²+b²k²≥2b²=2（a²-c²），
∴a²≤2c²，即
故離心率e的取值范圍是[，1）（14分）
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．