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20.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,經過點F作斜率為1的直線,與拋物線C交于A,B兩點.
(1)求線段AB的長度;
(2)點P在x軸上,且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3,求點P的橫坐標.

分析 (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=x-1,聯(lián)立直線與拋物線方程可求x1+x2,x1x2,代入弦長公式|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,可求線段AB的長度;
(2)P在x軸上,設P(x,0),求得向量$\overrightarrow{PA}$=(x1-x,y1),$\overrightarrow{PB}$=(x2-x,y2),根據向量的數量積的坐標表示,$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x2-6x-3,即可求得x的值.

解答 解:(1)∵拋物線y2=4x上的焦點F(1,0),設A(x1,y1),B(x2,y2
則可設直線AB的方程為y=x-1
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,整理得x2-6x+1=0,
由韋達定理可得:x1+x2=6,x1x2=1,
∴|AB|=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({y}_{1}-{y}_{2})^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{32}$=8,
線段AB的長度8;
(2)P在x軸上,設P(x,0),
$\overrightarrow{PA}$=(x1-x,y1),$\overrightarrow{PB}$=(x2-x,y2),
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=(x1-x)•(x2-x)+y1y2=x1x2-x(x1+x2)+x2+x1x2-(x1+x2)+1,
=1-6x+x2+1-6+1,
=x2-6x-3,
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3,
x2-6x-3=-3,
解得:x=0或x=6,
點P的橫坐標(0,0)或(6,0).

點評 本題考查拋物線的標準方程,直線與拋物線的位置關系,考查向量數量積的坐標表示,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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