Question

如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連接AB，BC．
（1）求證△ABC∽△ADB；
（2）若切線AP的長為12厘米，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AC為⊙O的半徑，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根據切線的性質知：∠ABD=∠ACB，從而可證：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根據勾股定理可將OP的長求出，再根據△ABC∽△PAO，可將AB的長求出．
解答：證明：（1）∵AC是圓O的直徑
∴∠ABC=90°
∵AD⊥BP
∴∠ADB=90°∴∠ABC=∠ADB
∵PB是圓的切線
∴∠ABD=∠ACB
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB
∴△ABC∽△ADB．

（2）連接OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連接AB，BC．
∴OP⊥AB，OP 平分AB，
∴△ABC∽△PAO
∴
∴
∴AB=厘米
點評：本題主要考查相似三角形的判定及切線性質的應用．本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．