Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+11x，其圖象記為曲線C．
（1）求曲線C在點(diǎn)A（3，f（3））處的切線方程l；
（2）記曲線C與l的另一個(gè)交點(diǎn)為B（x₂，f（x₂）），線段AB與曲線C所圍成的封閉圖形的面積為S，求S的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-6x²+11x，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，求其在x=3處的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程；
（2）曲線C與l的另一個(gè)交點(diǎn)為B（x₂，f（x₂）），聯(lián)立方程解出點(diǎn)B，

解答：解（1）∵函數(shù)f（x）=x³-6x²+11x，
∴f'（x）=3x²-12x+11，
f'（3）=2，又f（3）=6，
∴切線方程l為y-6=2（x-3），
即y=2x．
（2）曲線C與l的另一個(gè)交點(diǎn)為B（x₂，f（x₂）），
∴

y=x3-6x2+11x y=2x

得B（0，0）
∴S=

∫

3 0

(x3-6x2+11x-2x)dx=(

1

4

x4-2x3+

9

2

x2)|

3 0

=

27

4

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，及定積分的運(yùn)算，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)，此題是一道基礎(chǔ)題；