Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（1）求證：SA⊥BC；
（2）求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）過S作SO⊥BC于0，連OA，易得SO⊥底面ABCD，OA⊥OB，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出SA與BC的方向向量，代入向量數量積公式，求出其數量積為0，即可得到SA⊥BC
（2）求出直線SD的方向向量，及平面SAB的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

解答：證明：（1）由側面SBC⊥底面ABCD，交線BC，過S作SO⊥BC于0，連OA，得SO⊥底面ABCD．（2分）
∵SA=SB，
∴Rt△SOA≌Rt△SOB，得OA=OB，又∠ABC=45°，
故△AOB為等腰直角三角形，OA⊥OB．（4分）
如圖，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)，D(

2

，-2

2

，0)，S(0，0，1)
則

.

SA

=(

2

，0，-1)，

.

BC

=(0，-2

2

，0)（6分）
∴

.

SA

•

.

BC

=0，
故SA⊥BC．（7分）
解：（2）

.

SA

=(

2

，0，-1)，

.

AB

=(-

2

，

2

，0)
設n=（x，y，z）為平面SAB的一個法向量，
由

n. . SA =0 n. . AB =0

?

2 x-z=0 - 2 x+ 2 =0

?

z= 2 x y=x

取x=l，得n=(1，1，

2

)（10分）
而

.

SD

=(

2

，-2

2

，-1)，
設直線，SD與平面SAB所成的角為θ，
則sinθ=

| SD •n|

| SD |•|n|

=

2 2

11 •2

=

22

11

故直線SD與平面SAB所成角的正弦值為

22

11

（14分）

點評：本題考查的知識是直線與平面所成的解，直線與直線垂直的判定，其中建立適當的空間坐標系，將空間線線及線面夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．