Question

已知點P是拋物線y²=4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A 的坐標是（4，a），則當|a|＞4時，|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、

  a2+9

• B、

  a2+9

  -1
• C、a+3
• D、

  a2+3

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：先看當x=4時根據拋物線方程求得縱坐標的絕對值，而|a|＞4，明A（4，a）是在拋物線之外拋物線焦點和準線可求得，延長PM交L：x=-1于點N，必有：|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1根據拋物線的定義，可知：拋物線上的點P到準線x=-1的距離等于其到焦點F（1，0）的距離進而判斷出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在拋物線之外，可由圖象的幾何位置判斷出：AF必與拋物線交于一點，設此點為P'，看p和P'的重合與不重合兩種情況分別求得最小值，最后綜合可得答案．

解答：
解：當x=4時，y²=4×4=16，所以y=±4，即|y|=4，因為|a|＞4，所以點A在拋物線的外側，延長PM交直線x=-1，由拋物線的定義可知|PN|=|PM|+1=|PF|，當，三點A，P，F共線時，|PA|+|PF|最小，此時為|PA|+|PF|=|AF|，又焦點坐標為F（1，0），所以|AF|=

(4-1)2+a2

=

9+a2

，即|PM|+1+|PA|的最小值為

a2+9

，所以|PM|+|PA|的最小值為

a2+9

-1，
故選：B．

點評：本題主要考查了拋物線的應用，以及拋物線定義的應用．考查了學生對拋物線定義的理解和應用．