Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=e^x②f（x）=x³③f(x)=sin

π

2

x④f（x）=lnx，其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：①對于函數(shù)f（x）=e^x 若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有兩個(gè)解，即y=e^x和y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與即y=e^x和y=x的圖象沒有公共點(diǎn)相矛盾，故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
②對于f（x）=x³ 存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③對于f(x)=sin

π

2

x，存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f(x)=sin

π

2

x∈[0，1]．
④對于 f（x）=lnx，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有l(wèi)na=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有兩個(gè)解，
即y=lnx 和 y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與y=lnx 和 y=x的圖象沒有公共點(diǎn)相矛盾，故④不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
故選 B．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說明一個(gè)函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵．