Question

甲、乙兩人進(jìn)行5次比賽，如果甲或乙無論誰勝了3次，則宣告比賽結(jié)束．假定甲獲勝的概率是

2

3

，乙獲勝的概率是

1

3

，試求：
（1）比賽以甲3勝1敗而宣告結(jié)束的概率；
（2）比賽以乙3勝2敗而宣告結(jié)束的概率；
（3）設(shè)甲先勝3次的概率為a，乙先勝3次的概率為b，求a：b．

Answer 1

分析：（1）以甲3勝1負(fù)而結(jié)束比賽，則甲第4次必勝而前3次必有1次為敗，故所求概率為 P=

C

1 3

•（1-

2

3

）(

2

3

)3，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）以乙3勝2負(fù)而結(jié)束比賽，則乙第5次必勝而前4次必有2次敗，故所求概率為 P′=

C

2 4

•(1-

1

3

)2 (

1

3

)3，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）甲先勝3次的情況有3種：3勝無敗、3勝1敗、3勝2敗，其概率分別為

8

27

，

8

27

，

16

81

．求得 a=

8

27

+

8

27

+

16

81

的值，可得 b-1的值，從而求得a：b 的值．

解答：解：（1）以甲3勝1負(fù)而結(jié)束比賽，則甲第4次必勝而前3次必有1次為�。�
∴所求概率為 P=

C

1 3

•（1-

2

3

）(

2

3

)3=

8

27

．（4分）
（2）以乙3勝2負(fù)而結(jié)束比賽，則乙第5次必勝而前4次必有2次�。�
∴所求概率為 P′=

C

2 4

•(1-

1

3

)2 (

1

3

)3=

8

81

 （9分）
（3）甲先勝3次的情況有3種：3勝無敗、3勝1敗、3勝2敗，其概率分別為

8

27

，

8

27

，

16

81

．
∴a=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

，從而 b-1=1-

64

81

=

17

81

，
故 a：b=64：17．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對(duì)立事件的概率之間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類
討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．