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【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品,該作品由一個球體和一個正四棱柱組成,假定原 木為圓柱體(如圖1),底面半徑為,高為,制作要求如下:首先需將原木切割為兩部分(分別稱為第I圓柱和第II圓柱),要求切面與原木的上下底面平行(不考慮損耗) 然后將第I圓柱切割為一個球體,要求體積最大,將第II圓柱切割為一個正四棱柱,要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內接正方形.

1)當時,若第I圓柱和第II圓柱的體積相等,求該手王作品的體積;

2)對于給定的,求手工作品體積的最大值.

【答案】12

【解析】

1)由已知可得第I圓柱和第II圓柱高相等為4,等于圓柱底面直徑,第I圓柱的球體最大直徑為4,再由條件可求出正四棱柱的底面邊長,從而求出體積,即可求解;

(2)設第I圓柱的高為,則第II圓柱的高為,求出正四棱柱體積為,而球半徑為較小值,對分類討論,當是,球的半徑為,體積定值,只需求最大值即可;當,球最大半徑為,求出球的體積與正四棱柱體積和,通過求導,求出最大值,對比兩個范圍的最大值,即可求解.

1)因為第I圓柱和第II圓柱的體積一樣大,

所以它們的高一樣,可設為

I圓柱的球體直徑不超過

因此第I圓柱內的最大球體半徑即為

球體體積

因為正四棱柱的底面正方形內接于半徑為的圓

所以正方形的對角線長為,邊長為

正四棱柱體積

手工作業的體積為.

2)設第I圓柱的高為,則第II圓柱的高為

①當時,第I圓柱內的球體直徑應不超過

故球體的最大半徑應為

由(1)可知,此時第II圓柱內的正四棱柱底面積為

故當時,最大為

手工作品的體積最大值為.

②當時,第I圓柱內的球體直徑應不超過

故球體的最大直徑應為

球體體積

正四棱柱體積

所以手工作品的體積為.

.

遞減

極小

遞增

因為

所以

所以當時,

手工作品的體積最大值為

練習冊系列答案
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3

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0.000591

0.000164

0.006050

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