Question

一束光線從點F₁(－1，0)出發，經直線l：2x－y＋3＝0上一點P反射后，恰好穿過點F₂(1，0)．

(Ⅰ)求點F₁關于直線l的對稱點的坐標；

(Ⅱ)求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓C的方程；

(Ⅲ)設直線l與橢圓C的兩條準線分別交于A、B兩點，點Q為線段AB上的動點，求點Q到F₂的距離與到橢圓C右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點Q的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設的坐標為，則且．……2分 　　解得，因此，點的坐標為．…………………4分 　　(Ⅱ)，根據橢圓定義， 　　得，……………5分 　　，． 　　∴所求橢圓方程為．………………………………7分 　　(Ⅲ)，橢圓的準線方程為．…………………………8分 　　設點的坐標為，表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離． 　　則，． 　　，……………………………10分 　　令，則， 　　當，，，． 　　∴在時取得最小值．………………………………13分 　　因此，最小值＝，此時點的坐標為．…………14分 　　注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得． 　　說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心率．