Question

廣東某品牌玩具企業的產品以往專銷歐州市場，在歐債危機的影響下，歐州市場的銷量受到嚴重影響，該企業在政府的大力扶助下積極開拓國內市場，主動投入內銷產品的研制開發，并基本形成了市場規模，自2010年9月以來的第n個月（2010年9月為每一個月），產品的內銷量、出口量和銷售總量（內銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n（單位萬件），分析銷售統計數據發現形成如下營銷趨勢：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba（其中a、b為常數），且a₁＝1萬件，a₂＝1.5萬件，a₃＝1.875萬件.
（1）求a,b的值，并寫出a_n＋1與a_n滿足的關系式；
（2）如果該企業產品的銷售總量a_n呈現遞增趨勢，且控制在2萬件以內，企業的運作正常且不會出現資金危機；試證明：a_n＜a_n＋1＜2.
（3）試求從2010年9月份以來的第n個月的銷售總量a_n關于n的表達式.

Answer 1

解：（1）依題意：a_n＋1＝b_n＋1＋c_n＋1＝aa_n＋a_n＋ba，
又a₂＝aa₁＋a₁＋ba，∴a＋1＋b＝……………………①
又a₃＝aa₂＋a₂＋ba，∴…………②
解①②得a＝1，b＝－從而a_n＋1＝2a_n－a(n∈N^*)……………………………（4分）
（2）證法（Ⅰ）由于a_n＋1＝2a_n－a＝－(a_n－2)²＋2≤2.
但a_n＋1≠2，否則可推得a₁＝2與a₁＝1矛盾.故a_n＋1＜2，于是a_n＜2，
又a_n＋1－a_n＝－a＋2a_n－a_n＝－a_n(a_n－2)＞0，
所以a_n＋1＞a_n，從而a_n＜a_n＋1＜2.……………………………………………………（9分）
方法（Ⅱ）用數學歸納法
（ⅰ）當n＝1時，a₁＝1，a₂＝1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假設n＝k時，a_k＜a_k＋1＜2成立.
由于函數f(x)＝－x²＋2x＝－(x－2)²＋2在［0,2］上為增函數，
則f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(2)即a_k(4－a_k)＜a_k＋1(4－a_k＋1)＜×2×(4－2)
即a_k＋1＜a_k＋2＜2成立.綜上可得n∈N^*有a_n＜a_n＋1＜2.………………………………（9分）
（3）由a_n＋1＝2a_n－a得2(a_n＋1－2)＝－(a_n－2)²，即(2－a_n＋1)＝(2－a_n)²，
又由（2）知a_n＜a_n＋1＜2，可知2－a_n＋1＞0，2－a_n＞0，
則lg(2－a_n＋1)＝2lg(2－a_n)－lg2，∴lg(2－a_n＋1)－lg2＝2［lg(2－a_n)－lg2］
即{lg(2－a_n＋1)－lg2}為等比數列，公比為2，首項為lg(2－a₁)－lg2＝－lg2
故lg(2－a_n)－lg2＝(－lg2)·2^n－1，∴a_n＝2－(n∈N^*)為所求.……………（13分）

略