Question

（2013•天河區三模）已知函數f(x)=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R
（I） 求函數f（x）的最小正周期及單調增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，△ABC的面積等于3，求邊長a的值．

Answer 1

分析：（I） 函數f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，即可求出函數的最小正周期，根據正弦函數的單調遞增區間即可得到函數的單調增區間；
（Ⅱ）由f（

A

2

+

π

3

）=

4

5

，A∈（0，π），得到cosA與sinA的值，再利用三角形的面積公式及已知面積與b、sinA的值，求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期為π；
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
則函數的增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵f（

A

2

+

π

3

）=

4

5

，A∈（0，π），
∴cosA=

4

5

，sinA=

3

5

，
∵S=

1

2

bcsinA=3，b=2，sinA=

3

5

，
∴c=5，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13，
∴a=

13

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，余弦定理，三角形的面積公式，正弦函數的單調性，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．