Question

已知：（1+tan10°）（1+tan35°）=2；（1+tan20°）（1+tan25°）=2；（1+tan30°）（1+tan15°）=2通過觀察上述三個等式的規律，請你寫出一般性的命題，并給出的證明．

Answer 1

分析：根據題意可得：若α+β=45°，則（1+tanα）（1+tanβ）=2．因為α+β=45°，所以tan（α+β）=tan45°=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1，即tanα+tanβ=1-tanαtanβ，即可得到tanα+tanβ+tanαtanβ=1，進而得到答案．

解答：解：根據題意可得：若α+β=45°，則（1+tanα）（1+tanβ）=2．
因為α+β=45°，所以tan（α+β）=tan45°=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1，即tanα+tanβ=1-tanαtanβ．
所以（1+tanα）（1+tanβ）=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2．
所以若α+β=45°，則（1+tanα）（1+tanβ）=2正確．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），（3）利用一個該生進行論證．