Question

如圖2-4,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=13,AB=5,O是AB上的點,以O為圓心,OB為半徑作⊙O.

(1)當OB=2.5時,⊙O交AC于點D,求CD的長.

(2)當OB=2.4時,AC與⊙O的位置關系如何?試證明你的結論.

圖2-4

Answer 1

思路分析:求CD的長容易想到利用圓冪定理.其中AC已知,只需求BC并證BC為切線即可.

解:(1)在Rt△ABC中,BC==12.

∵∠B=90°,OB為半徑,

∴BC是⊙O切線.

又AB=5,OB=2.5,

∴OA=2.5,即A在圓上.

由切割線定理,得BC²=CD·AC.

∴CD=.

(2)當OB=2.4時,AC是⊙O的切線,如圖2-5.

圖2-5

證明:過O作OM⊥AC于M,則△AOM∽△ACB.

∴.

∴OM=2.4,

即點O到AC的距離等于⊙O的半徑.

∴AC切⊙O于點M.