Question

已知a、b、c是△ABC的三條邊，它們所對的角分別是A、B、C，若a、b、c成等比數列，且a²-c²=ac-bc，試求：
（1）角A的度數；
（2）求

bsinB

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得b²=ac，結合已知，利用余弦定理可求cosA，進而可求A
（2）由b²=ac結合正弦定理可得sin²B=sinAsinC
法一：由正弦定理可得，

bsinB

c

=

sin2B

sinC

=sinA可求
法二：由

b

c

=

a

b

可得

bsinB

c

=

asinB

b

=sinA

解答：解：（1）∵a、b、c成等比數列∴b²=ac…（1分）
∵a²-c²=ac-bc∴a²-c²=b²-bc
∴b²+c²-a²=bc…（3分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

…（5分）
又∵A∈（0，π）∴A=

π

3

…（7分）
（2）∵b²=ac
∴（2RsinB）²=（2RsinA）（2RsinC）
∴sin²B=sinAsinC…（10分）
法一：

bsinB

c

=

sinB2

sinC

=sinA=

3

2

…（14分）
法二：∵b²=ac
∴

b

c

=

a

b

∴

bsinB

c

=

asinB

b

=sinA=

3

2

…（14分）

點評：本題主要考查了等比數列的性質及余弦定理、正弦定理在求解三角形中的 應用，屬于知識的簡單綜合