Question

已知直線l₁：5x+2y-3=0和l₂：3x-5y-8=0的交點為P，求：
（1）過點P且與直線x+4y-7=0平行的直線l的方程；
（2）過點P且與直線x+4y-7=0垂直的直線l'的方程．

Answer 1

解：（1）方法一：由得 ，即點P（1，-1）…（3分）
∵直線x+4y-7=0的斜率為
∴所求直線l的斜率為…（5分）
∴直線l的方程為，
即x+4y+3=0…（7分）
方法二：因為所求直線l與直線x+4y-7=0平行，
故可設所求的直線l方程為x+4y+m=0…（2分）
由得 ，即點P（1，-1）…（5分）
將x=1，y=-1代入方程x+4y+m=0，得1-4+m=0，∴m=3…（6分）
∴直線l的方程為x+4y+3=0…（7分）
（2）方法一：由（1）得點P（1，-1）
∵直線x+4y-7=0的斜率為
∴所求直線l'的斜率為4 …（11分）
∴直線l'的方程為y+1=4（x-1），即4x-y-5=0…（14分）
方法二：由直線l'垂直于直線x+4y-7=0，
則可設直線l'的方程為4x-y+t=0…（10分）
∵l₁與l₂的交點為P（1，-1）
∴4×1-（-1）+t=0，得t=-5…（12分）
∴直線l'的方程為4x-y-5=0…（14分）
分析：（1）方法一：先聯立方程，求出交點坐標，再利用平行，確定直線l的斜率，從而可求直線l的方程；
方法二：利用與已知直線平行時，斜率相等，假設方程，再將交點坐標代入，即可求得直線l的方程；
（2）方法一：先聯立方程，求出交點坐標，再利用垂直，確定直線l的斜率，從而可求直線l′的方程；
方法二：利用與已知直線垂直時，斜率互為負倒數，假設方程，再將交點坐標代入，即可求得直線l′的方程．
點評：本題重點考查直線方程的求解，考查兩條直線平行于與垂直的位置關系，兩種方法并舉，注意細細體會．