Question

已知點A（x₀，

15

8

）在拋物線C：y²=5x的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則點F到直線AB的距離為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意先求出準線方程x₀=-

5

4

，寫出第一象限的拋物線方程，設出切點，并求導，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，進而求出點F到直線AB的距離．

解答： 解：∵點A（x₀，

15

8

）在拋物線C：y²=5x的準線上，
∴x₀=-

5

4

，
∴拋物線C：y²=5x，在第一象限的方程為y=

5

•

x

，
設切點B（m，n），則n=

5

•

m

，
又導數y′=

5

2 x

，則在切點處的斜率為

5

2 m

，
∴

5 • m - 15 8

m+ 5 4

=

5

2 m

解得

m

=

5

，
∴B（5，5），
∴直線AB的方程為x-2y+5=0，
∴點F到直線AB的距離為

| 5 4 +5|

5

=

5 5

4

，
故答案為：

5 5

4

．

點評：本題主要考查拋物線的方程和性質，同時考查直線與拋物線相切，運用導數求切線的斜率等，是一道基礎題．