Question

9、設(shè)a₁，a₂，…，a_2n+1均為整數(shù)，性質(zhì)P為：對(duì)a₁，a₂，…，a_2n+1中任意2n個(gè)數(shù)，存在一種分法可將其分為兩組，每組n個(gè)數(shù)，使得兩組所有元素的和相等求證：a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質(zhì)P．

Answer 1

分析：先證 a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等時(shí)，性質(zhì)P成立．
再證 當(dāng)a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質(zhì)P時(shí)，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等，用反證法，假設(shè)要證結(jié)論的反面成立，
推出與性質(zhì)P相矛盾的結(jié)論，可得假設(shè)不成立．

解答：證明：①當(dāng)a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等時(shí)，從中任意2n個(gè)數(shù)，將其分為兩組，每組n個(gè)數(shù)，兩組所有元素的和相等，
故性質(zhì)P成立．
②下面證明：當(dāng)a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質(zhì)P時(shí)，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等．反證法：
假設(shè)a₁，a₂，…，a_2n+1不全部相等，則其中至少有一個(gè)整數(shù)和其它的整數(shù)不同，不妨設(shè)此數(shù)為a₁，
若a₁在取出的2n個(gè)數(shù)中，將其分為兩組，每組n個(gè)數(shù)，則a₁在的那個(gè)組所有元素的和與另一個(gè)組所有元素的和不相等，
這與性質(zhì)P 矛盾，故假設(shè)不成立，
所以，當(dāng)a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質(zhì)P時(shí)，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等．
綜上，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質(zhì)P．

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的定義，用反證法證明命題的方法和步驟．