Question

函數f（x）=x+

9

x

（x＞0）
（Ⅰ）寫出函數f（x）的單調遞增區間，并給出證明；
（Ⅱ）寫出函數f（x）的單調遞減區間，不必證明；
（Ⅲ）求f（x）在區間[1，5]上的最大值和最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用定義法證明函數的單調性，并寫出函數f（x）的單調遞增區間．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）直接寫出函數f（x）的單調遞減區間．
（Ⅲ）利用函數在區間[1，5]上的單調性求函數的最值．

解答：解：（I）函數f(x)=x+

9

x

(x＞0)的單調遞增區間是（3，+∞）．
證明：設x₁，x₂∈（3，+∞），且 x₁＜x₂．
則x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＞0，x₁x₂＞0，

f(x1)-f(x2)=x1+ 9 x1 -x2- 9 x2 =(x1-x2)+( 9 x1 - 9 x2 )=(x1-x2)+ 9(x2-x1) x1x2 =(x1-x2)(1- 9 x1x2 )=(x1-x2) (x1x2-9) x1x2 ＜0

，
即f（x₁）＜f（x₂），函數f（x）在區間（3，+∞）上是增函數．
即函數f(x)=x+

9

x

(x＞0)的單調遞增區間是（3，+∞）．
（II）函數f(x)=x+

9

x

(x＞0)的遞減區間是（0，3）．
（III）由第（I）、（II）可得函數f（x）在區間[1，3）上是減函數，在（3，5]上是增函數．
又f（1）=10，f（3）=4，f（5）═6.8，
所以f（x）在區間[1，5]上的最大值為10，相應的x為1．
f（x）在區間[1，5]上的最小值為4，相應的x為3．

點評：本題主要考查函數單調性的證明和利用單調性求函數的最值問題，利用定義法或導數是判斷函數單調性的基本方法．