Question

（2012•包頭一模）設橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，點A（a，0），B（0，-b），原點O到直線AB的距離為

2 3

3

．
（I）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點C為（-a，0），點P在橢圓M上（與A、C均不重合），點E在直線PC上，若直線PA的方程為y=kx-4，且

CP

•

BE

=0，試求直線BE的方程．

Answer 1

分析：（I）由e2=

c2

a2

=

1

2

，得a=

2

b，由點A（a，0），B（0，-b），知直線AB的方程為

x

a

+

y

-b

=1，由此能求出橢圓M的方程．
（Ⅱ）由A、B的坐標依次為（2，0）、（0，-

2

），直線PA經過點A（2，0），即得直線PA的方程為y=2x-4，因為

CP

•

BE

=0，所以kBE=-

1

kCP

，由此能求出直線BE的方程．

解答：解：（I）由e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，
得a=

2

b，
由點A（a，0），B（0，-b），
知直線AB的方程為

x

a

+

y

-b

=1，
于是可得直線AB的方程為x-

2

y-

2

b=0，
因此

|0+0- 2 b|

12+( 2 )2

=

2 b

3

=

2 3

3

，
解得b=

2

，b²=2，a²=4，
∴橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由（I）知A、B的坐標依次為（2，0）、（0，-

2

），
∵直線PA經過點A（2，0），
∴0=2k-4，得k=2，
即得直線PA的方程為y=2x-4，
因為

CP

•

BE

=0，
所以k_CP•k_BE=-1，即kBE=-

1

kCP

，
設P的坐標為（x₀，y₀），
由

y=2x-4 x2+2y2-4=0

，得P（

14

9

，-

8

9

），
則kPC=-

1

4

，∴k_BE=4，
又點B的坐標為（0，-

2

），
因此直線BE的方程為y=4x-

2

．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．