Question

已知n是正整數，數列{a_n}的前n項和為S_n，對任何正整數n，等式S_n=-a_n+（n-3）都成立．
（I）求數列{a_n}的首項a₁；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）設數列{na_n}的前n項和為T_n，不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3是否對一切正整數n恒成立？若不恒成立，請求出不成立時n的所有值；若恒成立，請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）在等式中，令n=1．解關于a₁的方程．
（II）當n≥2時，，變形轉化得出數列{}是等比數列，求出{}的通項公式，進而求出數列{a_n}的通項公式．
（III），用分組求和法求出T_n，代入關系式，整理，考查不等式恒成立成立與否，注意分離參數思想方法的使用，及求含n的式子的最值．
解答：解：（I）當n=1時，，解得．
   （II）當n≥2時，，則
因此數列{}是首項為-1，公比為的等比數列，
∴=
∴
 數列{a_n}的通項公式是
 （III）不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3對一切正整數n都成立，
∵，
∴-
令
則
上面兩式相減：

即
∴=
∵=
∴2T_n-（2n+4）S_n==
∴當n=2或n=3時，的值最大，最大值為3，
∴對一切正整數n.2T_n-（2n+4）S_n≤3
∴不等式2T_n-（2n+4）S_n+3對一切正整數n都成立．
點評：本題考查用變形，化簡轉化成等差或等比數列，研究問題的知識方法．（Ⅱ）中的方法適用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（p，q≠0），求a_n，注意分離參數思想方法，及求含n的式子的最值在研究數列與不等式綜合問題的價值．