Question

（2011•桂林一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F為BB₁上一點，BF=BC=2，FB₁=1，D為BC中點，E為線段AD上不同于點A、D的任意一點．
（Ⅰ）證明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=

2

，是否存在E滿足EF與平面FA₁C₁所成的角為arcsin

30

6

？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得到AD⊥BC，取B₁C₁的中點D₁，連結DD₁，由三棱柱為直三棱柱得到D₁A₁，D₁B₁，D₁D所在直線兩兩垂直，以D₁為坐標原點建立空間直角坐標系，求出對應點的坐標，設出E的坐標，由向量

EF

，

FC1

的數量積等于0證得答案；
（Ⅱ）設這樣的點E存在，利用AB=

2

求出A的坐標，E點的橫坐標有了條件限制，求出平面A₁FC₁的一個法向量，把向量

EF

的坐標用含有E點橫坐標的代數式表示，由EF與平面FA₁C₁所成的角為arcsin

30

6

列式求出E點橫坐標，與限制條件矛盾，從而說明假設錯誤．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC．
取B₁C₁的中點D₁，連結DD₁，∴DD₁∥BB₁，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴DD₁⊥面A₁B₁C₁．
以D₁為坐標原點，D₁A₁，D₁B₁，D₁D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則D₁（0，0，0），C₁（0，-1，0），F（0，1，1）．
設E（t，0，3）．
則

EF

=(-t，1，-2)，

FC1

=(0，-2，-1)．
∵

EF

•

FC1

=1×(-2)+(-2)×(-1)=0，∴EF⊥FC₁；
（Ⅱ）設這樣的點E存在．
∵AB=

2

，∴A1D1=AD=

AB2-BD2

=

2-1

=1．
則A₁（1，0，0），E（t，0，3）（0＜t＜1）．
∴

A1C1

=(-1，-1，0)，

A1F

=(-1，1，1)．
設平面A₁FC₁的一個法向量

n

=(x，y，z)．
由

n ⊥ A1C1 n ⊥ A1F

⇒

n • A1C1 =0 n • A1F =0

⇒

-x-y=0 -x+y+z=0

．
取y=-1，得x=1，z=2．
∴

n

=(1，-1，2)．
又

EF

=(-t，1，-2)，由EF與平面FA₁C₁所成的角為arcsin

30

6

．
∴

30

6

=

| n • EF |

| n |•| EF |

=

|-t-1-4|

6 • t2+5

，
整理得：2t²-5t=0，解得：t=0或t=

5

2

．與0＜t＜1矛盾．
∴適合條件的點E不存在．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了直線與平面所成的角，考查了學生的空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量判定兩直線的垂直和求利用空間向量法求線面角，考查了計算能力，是中檔題．