Question

某市現有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府決定修一條環城路，分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點，使環城公路在A、B間為線段，要求AB環城路段與中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小，請你確定A、B兩點的最佳位置（不要求作近似計算）

Answer 1

分析：先以O為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，建立直角坐標系．設A（-a，0）、B（b，b），則可得直線AB的方程，再根據點到直線的距離公式可得a²b²=100（a²+2b²+2ab），進而求得ab的范圍，再根據兩點間的距離求得|AB|=

ab

10

，進而可得|AB|的范圍及最小值．當|AB|取最小值時可求得a，b的值，進而求出|OA|和|OB|，確定A，B的位置．

解答：解：以O為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，建立如下圖所示的坐標系．
設A（-a，0）、B（b，b）（其中a＞0，b＞0），
則AB的方程為y=

b

a+b

•x+

ab

a+b

，
即bx-（a+b）y+ab=0．
∴a²b²=100（a²+2b²+2ab）≥100（2

a2•2b2

+2ab）
=200（1+

2

）ab．
∵ab＞0，
∴ab≥200（

2

+1）．
當且僅當“a²=2b²”時等號成立，
而|AB|=

(b+a)2+b2

=

ab

10

，
∴|AB|≥20（

2

+1）．
當a²=2b²，
ab=10

2b2+a2+2ab

，
時，|AB|取最小值，
即a=10

2(2+ 2 )

，
b=10

2+ 2

此時|OA|=a=10

2(2+ 2 )

，
|OB|=10

2(2+ 2 )

，
∴A、B兩點的最佳位置是離市中心O均為10

2(2+ 2 )

km處．

點評：本題主要考查了平面幾何的性質在實際中的應用．要熟練掌握點與直線、直線與直線、直線與曲線的關系．