Question

（1）求離心率e=

6

3

，且過點（3，0），焦點在y軸上的橢圓的標準方程．
（2）雙曲線C與4x²+y²=1有相同的焦點，它的一條漸近線方程是y=

2

x，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）先設出橢圓方程，根據條件列出關于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到結論；
（2）將橢圓化成標準方程，可得焦點坐標為（0，±

3

2

），因此設雙曲線方程為

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1（0＜m＜

3

4

），根據漸近線方程建立關于m的等式，算出m的值即可得到該雙曲線的方程．

解答：解：（1）∵橢圓的焦點在y軸上，
∴可設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
由于橢圓過點（3，0），故

32

b2

=1，解得b=3
又離心率e=

6

3

=

c

a

，則

c2

a2

=

6

9

=

2

3

，
故

b2

a2

=

1

3

，所以a=3

3

∴a=3

3

，b=3，
故橢圓的標準方程為

y2

27

+

x2

9

=1．
（2）將橢圓4x²+y²=1化成標準方程為

x2

1 4

+y2=1，可得焦點坐標為（0，±

3

2

），
因此設雙曲線方程為

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1（0＜m＜

3

4

），
由雙曲線的一條漸近線方程是y=

2

x，可得

m 3 4 -m

=

2

，
解得m=

1

2

，故雙曲線的方程為

y2

1 2

-

x2

1 4

=1，整理得2y²-4x²=1．

點評：本題給出雙曲線與橢圓有相同焦點，求雙曲線的標準方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．