Question

已知對一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），且方程f（x）=0有5個不同的根x_i（i=1，2，3，4，5），則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=

5

．

Answer 1

分析：由題意可得f（1+x）=f（1-x），故函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，又知方程f（x）=0有5個不同的根，故5個交點中必有1個為1，其余4個關于直線x=1對稱，由此可得答案．

解答：解：因為對一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），故用x+1來替換式中的x可得，
f（1+x）=f（2-x-1），即f（1+x）=f（1-x），
可知函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
又知方程f（x）=0有5個不同的根，即函數f（x）的圖象與x軸有5個不同的交點，
故5個交點中必有1個為1，其余4個關于直線x=1對稱，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1+2+2=5．
故答案為：5

點評：本題考查函數圖象的對稱性，由條件得出函數的圖象關于直線x=1對稱式解決問題的關鍵，屬基礎題．