Question

已知點P與定點F的距離和它到定直線l: 的距離之比是1 : 2.

(1)求點P的軌跡C方程;

(2)過點F的直線交曲線C于A, B兩點, A, B在l上的射影分別為M, N.

求證AN與BM的公共點在x軸上.

Answer 1

（1）（2）見解析

解析:

(1) 如圖(1) 設P點的坐標為,

則由題設得:,

化簡得: ,

   即即.

   ∴點P的軌跡C的方程是.

(2) ①當AB軸時, A、B的坐標分別為, ,

AN與BM的交點為在x軸上.

②當AB不垂直于x軸時,設直線AB的方程為,

代入橢圓,得

設, , 則, ,

且 ∵直線AN方程是,

 直線BM方程是.

聯列, 得, 消去y, 得: .

即 即,

把代入直線AN的方程

得

 ∴AN與BM交于點是x軸上一定點.

(2) 解法二: 如圖(2) 當AB不垂直于x軸時,

設AF＝n, 則AM＝2n, 設BF＝m, 則BN＝2m,

在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH₁∥BN,

∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH₁

∴

同理可推, ∴

,

∴,∴H與H₁重合，∴AN與BM交點是x軸上一定點.