Question

（本題滿分12分）
已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA⊥面ABCD。
（1）證明：PF⊥FD；
（2）在PA上是否存在點G，使得EG//平面PFD。

Answer 1

在AP上存在點G，且

（1）證明：連結AF，

∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，F是線段BC的中點，
∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴∠DFC=45°，同理可得∠AFB=45°，
∴AF⊥FD。
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD，∵AF∩PA=A
∴FD⊥平面PAF，∴PF⊥FD。…………6分
（2）在AP上存在點G，
且，使得EG//平面PFD，
證明：取AD中點I，取AI中點H，連結BI，EH，EG，GH，
四邊形BFDI是平行四邊形，
∴BI//FD
又∵E、H分別是AB、AI的中點，
∴EH//BI，∴EH//FD
而EH平面PFD，∴EH//平面PFD
，∴GH//PD
而GH平面PFD，∴HG//平面PFD。
又∵EH∩GH=H，
∴平面EHG//平面PFD，
∴EG//平面PFD。
從而點G為所求 ………………12分