Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為R（x）=3 700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數為C（x）=460x+5 000（單位：萬元），又在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；（提示：利潤=產值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？
（3）求邊際利潤函數MP（x）的單調遞減區間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據利潤=產值-成本，及邊際函數Mf（x）定義得出利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；
（2）先對利潤函數P（x）求導數，P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），利用導數研究它的單調性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大．
（3）根據MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．利用二次函數的性質研究它的單調性，最后得出單調遞減在本題中的實際意義單調遞減在本題中的實際意義即可．
解答：解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時，x=12，
∴當0＜x＜12時，
P′（x）＞0，當x＞12時，P′（x）＜0，
∴x=12時，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．
（3）MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．
所以，當x≥1時，MP（x）單調遞減，
所以單調減區間為[1，19]，且x∈N^*．
MP（x）是減函數的實際意義，隨著產量的增加，每艘利潤與前一艘利潤比較，利潤在減少．
點評：利用導數解決生活中的優化問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，把問題中所涉及的幾個變量轉化為函數關系式，這需要通過分析、聯想、抽象和轉化完成．函數的最值要由極值和端點的函數值確定．當函數定義域是開區間且在區間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．